tag:blogger.com,1999:blog-36505933181407556462023-06-20T20:58:34.939-07:00AlgebraAlgebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.comBlogger10125tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-51461745257108713012009-10-06T11:11:00.001-07:002009-10-06T11:11:41.341-07:00Igualdades<a href="http://www.galeon.com/student_star/desigual.html">http://www.galeon.com/student_star/desigual.html</a>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-32425964271528086732009-10-06T11:01:00.000-07:002009-10-06T11:05:21.002-07:00Fracciones algebraicas<a href="http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Fracciones_algebraicas">http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Fracciones_algebraicas</a>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-24293713636581303032009-10-05T15:23:00.000-07:002009-10-05T15:34:28.341-07:00potenciacion<p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">La potenciación no es una operación matemática,es una ley que se nota como a<sup>n</sup>, y que se lee "a elevado a n", que involucra dos números: la base <i>a</i> y el exponente <i>n</i>. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:</span></p> <ul style="font-weight: bold;"><li><span style="font-size:100%;">Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación">multiplicación</a> de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo: <img class="tex" alt=" 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 " src="http://upload.wikimedia.org/math/f/5/7/f57a009808ef78ad4f345abe88b9508a.png" />. En general:</span></li></ul> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n," src="http://upload.wikimedia.org/math/3/4/c/34c04a6ca2ac051a6e46494f613dfad2.png" /></span></dd><dt><br /></dt></dl> <ul style="font-weight: bold;"><li><span style="font-size:100%;">cuando el exponente es un entero negativo -p, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversa de la base 1/a al exponente positivo p.</span></li></ul> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="a^{-p}= \frac{1}{a^p}" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/b/66b763b24f2ef01c335133182b5f0a02.png" /></span></dd></dl> <ul style="font-weight: bold;"><li><span style="font-size:100%;">cuando el exponente es una fracción irreducible <i>m/n</i>, se define</span></li></ul> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt=" a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} " src="http://upload.wikimedia.org/math/3/9/8/3983643a5db08e21da69fffabbc0875c.png" /></span></dd></dl> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.</span></p> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">Como caso especial, destacar que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 0<sup>0</sup>, en principio, no está definido (ver en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cero" title="Cero">Cero</a>). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vac%C3%ADo" title="Producto vacío">producto vacío</a> o simplemente por analogía con el resto de números.</span></p><h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="Potencia_de_exponente_1">Potencia de exponente 1</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.</span></p> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;"><br /></span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="a^1 = a \," src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/a/93aa240565f54a6bc21b3257e6d173e4.png" /></span></dd></dl> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;"><br />ejemplo:</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="54^1=54 \," src="http://upload.wikimedia.org/math/a/6/a/a6afdb151d80558d111bf051b70aae77.png" /></span></dd></dl> <h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="Producto_de_potencias_de_igual_base">Producto de potencias de igual base</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los exponentes:</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt=" a^m \cdot a^n = a^{m + n} " src="http://upload.wikimedia.org/math/1/2/7/1273c298202a58254aaf8e56c32f3c51.png" /></span></dd></dl> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">ejemplos:</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt=" 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/e/0/1e0c830d730b37d219070877af3513c5.png" /></span></dd></dl> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">todo número a la potencia 0 es igual a 1</span></p> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">ejemplos:</span></p> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">5^0 = 1</span></p> <h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="cociente_de_potencias_de_igual_base">cociente de potencias de igual base</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/e/d/3ede94bd2a4103507da8a07ff6f02c30.png" /></span></dd></dl> <h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="Potencia_de_un_producto">Potencia de un producto</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">La potencia de un producto de base (a·b) y de exponente "n" es igual a la potencia "A" a la "N" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente.</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/6/2/0622c1e7ddef1b35238c771364462869.png" /></span></dd></dl> <h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="Potencia_de_una_potencia">Potencia de una potencia</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. Así se obtiene esta potencia</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt=" (a^m)^n = a^{m \cdot n} " src="http://upload.wikimedia.org/math/5/9/3/593d67c27c95b3b90b1f76017f00732a.png" /></span></dd></dl> <h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="Propiedad_distributiva">Propiedad distributiva</span><span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.</span></p> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt=" (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n " src="http://upload.wikimedia.org/math/0/6/2/0622c1e7ddef1b35238c771364462869.png" /></span></dd><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt=" \Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n} " src="http://upload.wikimedia.org/math/d/9/5/d951efc07984e761a4f1afd6f7eae2a7.png" /></span></dd></dl> <h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="Propiedades_que_no_cumple_la_potenciaci.C3.B3n">Propiedades que no cumple la potenciación</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="(a + b)^m \neq a^m + b^m " src="http://upload.wikimedia.org/math/7/f/a/7fa2ffd9684ed8925c3ed3dc3fd9d622.png" /></span></dd><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="(a - b)^m \neq a^m - b^m " src="http://upload.wikimedia.org/math/1/7/8/17860dd69f5f4b2f9c5c8bf0c901ce08.png" /></span></dd></dl> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general, <img class="tex" alt="a^b \neq b^a " src="http://upload.wikimedia.org/math/0/7/3/073a7bd1aef0db428cad904ec9a39679.png" /></span></p> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">Tampoco se cumple la propiedad asociativa:</span></p> <dl style="font-weight: bold;"><dd><span style="font-size:100%;"><img class="tex" alt="a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}." src="http://upload.wikimedia.org/math/d/8/b/d8b9a0216869860dcada1176ed40f5d7.png" /></span></dd></dl> <h3 style="font-weight: bold;"> <span style="font-size:100%;"><span class="mw-headline" id="Potencia_de_base_10">Potencia de base 10</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></span></h3> <p style="font-weight: bold;"><span style="font-size:100%;">Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la base, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente. Ejemplo 102=100. 105=100000 con 70<br /></span></p>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-34922575022382047772009-10-05T14:57:00.001-07:002009-10-05T14:58:16.625-07:00Minimo comun multiplo<i style="font-family: georgia;">El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.</i> <p style="font-family: georgia;">El nombre de <b>mínimo común múltiplo</b> está hecho de las partes <i>mínimo</i>, <i>común</i> y <i>múltiplo</i>:</p> <h2 style="font-family: georgia;">¿Qué es un "múltiplo"?</h2> <p style="font-family: georgia;"> Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo <b>multiplicas por otros números</b> (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.<br /> <br /> Aquí tienes ejemplos: </p> <div style="font-family: georgia;" class="simple"> <table align="center" border="0"> <tbody><tr> <td>Los múltiplos de <b>3</b> son <b>3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc</b>...</td> </tr> <tr> <td>Los múltiplos de <b>12</b> son <b>12, 24, 36, 48, 60, 72, etc</b>...</td> </tr> </tbody></table> </div> <h2 style="font-family: georgia;">¿Qué es un "múltiplo común"?</h2> <p style="font-family: georgia;">Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos <i><b>comunes</b></i> a los dos números.<br /> <br /> Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos <i>comunes</i> son los que están en las dos listas:</p> <table style="font-family: georgia;" align="center" border="0" width="450"> <tbody><tr> <td width="500">Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,<b>20</b>,24,28,32,36,<b>40</b>,44,...</td> </tr> <tr> <td width="500">Los múltiplos de 5 son 5,10,15,<b>20</b>,25,30,35,<b>40</b>,45,50,...</td> </tr> <tr> <td width="500"> </td> </tr> <tr> <td width="500">¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: <b>20, 40</b> (y 60, 80, etc. también)</td> </tr> </tbody></table> <h2 style="font-family: georgia;">¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?</h2> <p style="font-family: georgia;">Es simplemente el <b>más pequeño</b> de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el <i>mínimo</i> común múltiplo de 4 y 5 es <b>20</b>. </p> <br /> <h2 style="font-family: georgia;">Calcular el mínimo común múltiplo</h2> <p style="font-family: georgia;">En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.</p> <h3 style="font-family: georgia;">Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:</h3> <div style="font-family: georgia;" class="simple"> <table align="center" border="0" width="448"> <tbody><tr> <td>Los múltiplos de 3 son <i>3, 6, 9, 15, ...</i>, y los múltiplos de 5 son <i>5, 10, 15, 20, ...</i>, así:</td> </tr> <tr> <td><img src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/lcm.gif" width="471" height="141" /></td> </tr> <tr> <td>Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. <b>Respuesta: 15</b></td> </tr> </tbody></table> <p>Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.</p> </div> <h3 style="font-family: georgia;">Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8</h3> <table style="font-family: georgia;" align="center" border="0"> <tbody><tr> <td> <p>Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, <b>24</b>, 28, 32, 36, ...<br /> Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, <b>24</b>, 30, 36, ...<br /> Los múltiplos de 8 son: 8, 16, <b>24</b>, 32, 40, ....</p> <p>Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!) </p> </td> </tr> </tbody></table> <p style="font-family: georgia;"><i>Pista: puedes hacer listas más pequeñas de los números más grandes.</i></p> <h2 style="font-family: georgia;">Herramienta para el mínimo común múltiplo</h2><span style="font-family: georgia;"> Hay </span><i style="font-family: georgia;">otro</i><span style="font-family: georgia;"> método, puedes usar nuestra </span><a style="font-family: georgia;" href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/minimo-multiplo-comun-tool.html">Herramienta para el mínimo común múltiplo</a><span style="font-family: georgia;"> para calcularlo automáticamente.</span>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-58693940586944518352009-10-05T11:39:00.000-07:002009-10-13T16:07:00.731-07:00Productos notables y cocientes notables<span style="font-family:georgia;"><span style="color:#3333ff;"><span style="font-size:85%;">Cuadrado de la suma de dos cantidades</span> </span></span><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Cuadrado de la diferencia de dos cantidades</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;"><span style="color:#3333ff;"><span style="font-size:85%;">Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades</span><span style="font-size:85%;"> </span></span></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Cubo de un binomio</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:100%;color:#3333ff;">Cocientes Notables</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-size:85%;"><br /><span style="font-size:100%;"><a name="factoriza"></a><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;">Casos de factorización </span></span></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 1 - Factor común</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 2 - Factor por agrupación de términos</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.<br />Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 6 - Trinomio de la forma </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image032.gif" width="86" height="32" /></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.<br />El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.<br />El tercer término es independiente (no contiene la variable). </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:</span></p><div style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><ul><li><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.<br />° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.</span></li></ul></div><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-size:85%;"><br /><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;">Caso 7 - Trinomio de la forma</span></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image037.gif" width="109" height="26" /></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.<br />Se procede de la siguiente forma:<br />Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image038.gif" width="94" height="27" /></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador. </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 8 - Cubo perfecto de binomios </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:</span></p><div style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><ul><li><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">° Posee cuatro términos<br />° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).<br />° El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.<br />° El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.<br />° Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto. </span></li></ul></div><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-size:85%;"><br /><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;">Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.</span></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente: </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image039.gif" width="242" height="34" /></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image040.gif" width="240" height="35" /></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades: </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Para an-bn con n = par o impar la factorización será:</span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image041.gif" width="492" height="31" /></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Para an-bn con n = par la factorización será: </span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image042.gif" width="476" height="32" /></span></p><p style="COLOR: rgb(0,0,0);font-family:georgia;" align="justify" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;">Para an+bn con n = impar la factorización será: </span></p><p align="justify"><span style="font-family:georgia;color:#3333ff;"><img src="http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/images/image043.gif" width="478" height="28" /></span></p><span style="font-family:georgia;"></span>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-45812625689490693922009-10-05T11:36:00.000-07:002009-10-13T16:06:05.319-07:00Teorema del residuo<p style="TEXT-ALIGN: justify" class="MsoNormal"><span style="FONT-WEIGHT: 700;font-family:Comic Sans MS;" ></span><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>Teorema del Residuo</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>Una forma muy útil para determinar los Ceros de un Polinomio <span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria8.gif" width="35" height="23" shapes="_x0000_i1033" /></span> es el Teorema del Residuo, el cual vamos a introducir a continuación.</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: left;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-size:85%;"><span style="font-family:georgia;"><span style="color:#3333ff;"><strong>Si<span lang="es-mx"> </span>efectuamos la División Algebraica de un Polinomio<span lang="es-mx"> </span></strong></span></span></span></p><p style="TEXT-ALIGN: center;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-size:85%;"><span lang="es-mx"></span></span><span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria9.gif" width="165" height="24" shapes="_x0000_i1034" /></strong></span></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>entre <span style="POSITION: relative; TOP: 3pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria10.gif" width="36" height="19" shapes="_x0000_i1035" /></span> donde <span style="POSITION: relative; TOP: 2pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria11.gif" width="25" height="17" shapes="_x0000_i1036" /></span> es un número Independiente de <span style="POSITION: relative; TOP: 3pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria12.gif" width="13" height="15" shapes="_x0000_i1037" /></span> nos quedaría:</strong></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>3x<sup>2</sup> + 2x + 1</strong></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span style="Z-INDEX: 1; POSITION: relative"><span style="POSITION: absolute; WIDTH: 127px; HEIGHT: 110px; TOP: -3px; LEFT: 180px"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria13.gif" width="127" height="228" shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032" /></strong></span></span></span><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong> x-2 3x<sup>3</sup> – 4x<sup>2</sup> – 3x – 4</strong></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span lang="es-mx"><span style="font-size:85%;"></span></span><span style="font-family:georgia;"><span style="color:#3333ff;"><strong><span style="font-size:85%;">-3x<sup>3</sup> + 6x</span><sup><span style="font-size:85%;">2</span></sup></strong></span></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>2x<sup>2</sup> – 3x</strong></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>-2x<sup>2</sup> + 4x</strong></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>x – 4</strong></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>-x + 2</strong></span></p><p class="MsoNormal" style="font-family:georgia;"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>-2</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;"><span style="color:#3333ff;"><strong><span style="font-size:85%;">en donde el Cociente es <span style="POSITION: relative; TOP: 3pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria14.gif" width="79" height="21" shapes="_x0000_i1038" /></span> y el Residuo es </span><span style="POSITION: relative; TOP: 2pt"><span style="font-size:85%;"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria11.gif" width="25" height="17" shapes="_x0000_i1039" /></span></span></strong></span></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>el Polinomio, entonces, se puede expresar como:</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: center;font-family:georgia;" class="MsoNormal" align="center" ><span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria15.gif" width="283" height="24" shapes="_x0000_i1040" /></strong></span></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>A continuación, si calculamos <span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria16.gif" width="33" height="23" shapes="_x0000_i1041" /></span> en el ejemplo anterior, (si recordamos <span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria16.gif" width="33" height="23" shapes="_x0000_i1042" /></span> se obtiene sustituyendo 2 por <span style="POSITION: relative; TOP: 3pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria12.gif" width="13" height="15" shapes="_x0000_i1043" /></span> en la Función)</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: center;font-family:georgia;" class="MsoNormal" align="center" ><span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria17.gif" width="359" height="25" shapes="_x0000_i1044" /></strong></span></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;"><span style="color:#3333ff;"><strong><span style="font-size:85%;">Podemos observar que el valor de </span><span style="font-size:85%;"><span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria16.gif" width="33" height="23" shapes="_x0000_i1041" /></span></span><span style="font-size:85%;"> es igual al valor del Residuo que se obtuvo en la División Algebraica esto podría indicar que se trata de una coincidencia sin embargo si se efectúa el mismo procedimiento con varias divisiones de <span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria19.gif" width="35" height="23" shapes="_x0000_i1046" /></span> entre distintos <span style="POSITION: relative; TOP: 3pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria20.gif" width="36" height="15" shapes="_x0000_i1047" /></span> se podría comprobar que en todos los casos que <span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria21.gif" width="33" height="23" shapes="_x0000_i1048" /></span> es igual al residuo <span style="POSITION: relative; TOP: 2pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria22.gif" width="16" height="17" shapes="_x0000_i1049" /></span> lo cual constituye el fundamento del Teorema del Residuo.</span></strong></span></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong></strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>TEOREMA DEL RESIDUO</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;"><span style="color:#3333ff;"><strong><span style="font-size:85%;">Si se Divide el Polinomio <span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria19.gif" width="35" height="23" shapes="_x0000_i1050" /></span> entre el Binomio <span style="POSITION: relative; TOP: 3pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria20.gif" width="36" height="15" shapes="_x0000_i1051" /></span> donde <span style="POSITION: relative; TOP: 2pt"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria23.gif" width="12" height="13" shapes="_x0000_i1052" /></span> es un Número Real, el Residuo es igual a </span><span style="POSITION: relative; TOP: 5pt"><span style="font-size:85%;"><img src="http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones/teoria21.gif" width="33" height="23" shapes="_x0000_i1053" /></span></span></strong></span></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong></strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>Teorema del Factor</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>Tomando como base el Teorema del Residuo, se puede establecer el enunciado de este Teorema que nos será muy útil para determinar los Factores de un Polinomio.</strong></span></p><p style="TEXT-ALIGN: justify;font-family:georgia;" class="MsoNormal" ><span style="font-family:georgia;font-size:85%;color:#3333ff;"><strong>Es importante recordar que al efectuar una División Algebraica, si la División es Exacta el Residuo es igual a Cero.</strong></span></p>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-87648792320789537722009-10-05T11:32:00.000-07:002009-10-05T11:35:57.748-07:00Radicales<p style="font-family: georgia;"><b><span style="font-family: georgia;"></span></b>Se llama raíz n-ésima de un número <i>a</i>, y se escribe <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200540.png" height="25" width="26" /><br />, a un número <i>b</i> que elevado a <i>n</i> dé <i>a</i>. </p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplos:</p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200541.png" height="140" width="215" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200542.png" height="25" width="26" /><br />se llama radical; <i>a</i>, radicando; y <i>n</i>, índice de la raíz.</p> <p style="font-family: georgia;"><b>EXISTENCIA DE RADICALES.</b></p> <p style="font-family: georgia;"><u>Primera</u>: si <i>a</i> es positivo, <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200543.png" height="25" width="26" /><br />existe, cualquiera que sea <i>n</i>. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200544.png" height="27" width="150" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><u>Segunda</u>: si <i>a </i>es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200545.png" height="55" width="116" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><u>Tercera</u>: salvo que <i>a</i> sea una potencia n-ésima de un número entero o fraccionario,<img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200546.png" height="25" width="26" /><br />es un número irracional. Sólo podremos obtener su expresión decimal aproximada.</p> <p style="font-family: georgia;"><b>FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES</b></p> <p style="font-family: georgia;"> La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:</p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200547.png" height="25" width="66" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Esta nomenclatura es coherente con la definición. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200548.png" height="26" width="219" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitirá expresarlos y operar cómodamente con ellos. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/000200549.png" height="55" width="98" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><b>PROPIEDADES DE LOS RADICALES</b></p> <p style="font-family: georgia;"> Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.</p> <p style="font-family: georgia;"><u>Primera</u>:</p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005410.png" height="27" width="166" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplos: </p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005411.png" height="58" width="108" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:</p> <p style="font-family: georgia;"> simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;</p> <p style="font-family: georgia;"> conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice</p> <p style="font-family: georgia;"> común). </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005412.png" height="58" width="169" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><u>Segunda</u>:</p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005413.png" height="26" width="252" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplos: </p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005414.png" height="55" width="163" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:</p> <p style="font-family: georgia;"> sacar un factor fuera de la raíz; </p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005415.png" height="52" width="206" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"> de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo. </p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005416.png" height="25" width="123" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><u>Tercera</u>:</p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005417.png" height="50" width="70" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplos: </p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005418.png" height="105" width="131" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005419.png" height="52" width="311" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><u>Cuarta</u>:</p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005420.png" height="29" width="275" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplos: </p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005421.png" height="30" width="154" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><u>Quinta</u>:</p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005422.png" height="30" width="276" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplos: </p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005423.png" height="66" width="87" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><b>RADICALES SEMEJANTES</b></p> <p style="font-family: georgia;"> Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y radicando.</p> <p style="font-family: georgia;"> </p> <p style="font-family: georgia;">Los radicales<img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005424.png" height="25" width="25" /><br />y <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005425.png" height="25" width="33" /><br />son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 3.</p> <p style="font-family: georgia;"> <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005426.png" height="25" width="25" /><br />y <img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005427.png" height="23" width="26" /><br />son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005428.png" height="27" width="251" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"> y<img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005429.png" height="25" width="33" /><br />son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005430.png" height="58" width="211" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Más ejemplos de radicales semejantes: </p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005431.png" height="145" width="245" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><b>OPERACIONES CON RADICALES</b></p> <p style="font-family: georgia;"> La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005432.png" height="26" width="159" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplo:</p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005433.png" height="26" width="200" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. </p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplo:</p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005434.png" height="25" width="77" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"> El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005435.png" height="25" width="154" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplo:</p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005436.png" height="48" width="127" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"> El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005437.png" height="50" width="94" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplo:</p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005438.png" height="48" width="123" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"> La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a dicha potencia. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005439.png" height="29" width="122" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplo:</p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005440.png" height="29" width="447" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"> Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el radicando. </p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005441.png" height="29" width="116" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;">Ejemplo:</p> <p style="font-family: georgia;"><img alt="Radicales y raíces" src="http://html.rincondelvago.com/0002005442.png" height="27" width="151" /><br /></p> <p style="font-family: georgia;"><b>EXPRESIONES FRACCIONARIAS</b></p> <p style="font-family: georgia;"> Al efectuar cálculos con radicales pueden surgir expresiones fraccionarias en las que aparezcan radicales. </p> <p style="font-family: georgia;">Estas expresiones no son números racionales, pues para ello el numerador y el denominador tendrían que ser números enteros.</p> <p style="font-family: georgia;">A estas expresiones las llamaremos expresiones fraccionarias, y verifican las mismas propiedades que los números racionales. Es especialmente importante recordar estas dos:</p> <p style="font-family: georgia;">Primera: dos expresiones fraccionarias son equivalentes si los productos cruzados son iguales.</p> <p style="font-family: georgia;">Segunda: si multiplicamos el numerador y el denominador de una expresión fraccionaria por una misma expresión distinta de cero, se obtiene una expresión fraccionaria equivalente a la primera.</p> <p style="text-align: center; font-family: georgia;"><b><u>Conclusión</u></b></p> <p style="font-family: georgia;">Muchas personas encuentran las matemáticas un tema arduo, complicado y, a veces, indescifrable. Por eso, en esta carpeta hemos tratado de huir de formalismos, que en ocasiones consiguen desviar y hemos ejemplificado todas las definiciones</p> <p style="font-family: georgia;">Las bases de las matemáticas no es saber mucho, sino saber hacer.</p>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-68835720621979160312009-10-05T11:28:00.000-07:002009-10-05T11:32:13.276-07:00Logaritmos<p style="font-family: georgia;">Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:</p> <ul style="font-family: georgia;"><li>El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.</li></ul> <dl style="font-family: georgia;"><dd> <dl><dd><img class="tex" alt=" \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b) " src="http://upload.wikimedia.org/math/f/8/7/f877980006644af90ca800cc9ef6166e.png" /><br /><br /></dd></dl> </dd></dl> <ul style="font-family: georgia;"><li>El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.</li></ul> <dl style="font-family: georgia;"><dd> <dl><dd><img class="tex" alt=" \!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b) " src="http://upload.wikimedia.org/math/8/c/1/8c1076e5862c82ed9264b11085e3627a.png" /><br /><br /></dd></dl> </dd></dl> <ul style="font-family: georgia;"><li>El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.</li></ul> <dl style="font-family: georgia;"><dd> <dl><dd><img class="tex" alt=" \!\, \log(a ^ x) = x \log(a) " src="http://upload.wikimedia.org/math/e/c/8/ec8cedff7c54841e7be9cc0faad645e9.png" /><br /><br /></dd></dl> </dd></dl> <ul style="font-family: georgia;"><li>El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.</li></ul> <dl style="font-family: georgia;"><dd> <dl><dd><img class="tex" alt=" \!\, \log(\sqrt[x]{y}) = \frac{\log(y)}{x} " src="http://upload.wikimedia.org/math/2/5/8/258d15025b0503dfc715e0e933b65e99.png" /><br /></dd></dl> </dd></dl> <h2 style="font-family: georgia;"> <span class="mw-headline" id="Logaritmo_en_base_b_.28cambio_de_base.29">Logaritmo de base b (cambio de base)<br /></span><span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></h2> <p style="font-family: georgia;">Son comunes los logaritmos en base <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e" title="Número e">e</a> (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_binario" title="Logaritmo binario">logaritmo binario</a>), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al <i>logaritmo de x en base b</i> (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):</p> <p style="font-family: georgia;"><img class="tex" alt="\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/1/9/019676910f27321b82ea6dfe31c239d6.png" /></p> <p style="font-family: georgia;">en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:<br /></p> <p style="font-family: georgia;"><img class="tex" alt="\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/2/4/f241859cc2e940a84e56098f97a5f42f.png" /></p> <p style="font-family: georgia;">En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como <img class="tex" alt="\log(x)\,\!" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/8/9/789cc4884f62e0f223ca749699d64a55.png" />, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/PH" title="PH">pH</a>) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Candela" title="Candela">candela</a>), del sonido(<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio" title="Decibelio">dB</a>), de la energía de un terremoto (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escala_de_Richter" title="Escala de Richter" class="mw-redirect">escala de Richter</a>), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.</p> <h3 style="font-family: georgia;"> <span class="mw-headline" id="Logaritmo_en_base_imaginaria">Logaritmo en base imaginaria</span> <span style="font-size: small; font-weight: normal; float: none; margin-left: 0px;" class="editsection"></span></h3> <div class="noprint AP" style="margin: 0pt 0pt 0.2ex 1em; font-family: georgia;"><i><span style="font-size: 87%;">Artículo principal:</span> <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_en_base_imaginaria" title="Logaritmo en base imaginaria">Logaritmo en base imaginaria</a></i></div> <p style="font-family: georgia;">Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base <i><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Unidad_imaginaria" title="Número complejo">i</a></i> (la <i><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Unidad_imaginaria" title="Número complejo">unidad imaginaria</a></i>). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:</p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: white; text-align: left; margin-left: 30px; margin-bottom: 0.8em; margin-top: 0.5em; font-family: georgia;"> <p><img class="tex" alt="\log_i(z) = {{2 \ln(z) } \over i\pi} .\," src="http://upload.wikimedia.org/math/b/b/e/bbe8d276a360d20b1977ae594069c23d.png" /></p> </blockquote> <p style="font-family: georgia;">Dónde <i>z</i> es cualquier <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo" title="Número complejo">número complejo</a> excepto 0.</p>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-65083199250293119592009-10-05T11:19:00.000-07:002009-10-05T11:22:45.829-07:00Ecuaciones simultaneas<span style="font-size:100%;"><span style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><br /></span></span> <table style="font-family: georgia; font-weight: bold;" align="center" border="0" cellpadding="0" cellspacing="8" width="558"><tbody><tr> <td colspan="5" align="center"><center> <img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/ncv-l1-12-00-p250-f1.jpg" height="190" width="300" /> </center></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"> En la papelería de Chucho un señor le compró <span class="numeros">3 gomas</span> y <span class="numeros">2 lápices</span>, por ellos pagó <span class="numeros">9.50 pesos</span>. Si la suma de lo que cuesta una goma y un lápiz es <span class="numeros">4 pesos.</span> ¿Cuánto vale cada goma y cada lápiz? <p>Chucho, para resolver este problema, piensa así:</p> <p>Necesito encontrar dos números que sumados me den <span class="numeros">4 pesos</span>, que es lo que cuestan una goma y un lápiz.</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5"><table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">a+b =4 ----- (1)</div></td> </tr> </tbody></table> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="100" width="300"> <tbody><tr class="cuerpo"> <td background="../../../imagesdg/caja-300.gif"><p align="center">a = precio de cada goma</p> <p align="center"> b = precio de cada lápiz </p></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo">Como en esta ecuación se tienen dos incógnitas, "<span class="numeros">a</span>" y "<span class="numeros">b</span>", no puede ser resuelta con una sola ecuación, por lo que se necesita otra diferente que también incluya las dos incógnitas. <p>Chucho dice que si sabe que vendió <span class="numeros">3 gomas</span> (<span class="numeros">a</span>) y <span class="numeros">2 lápices</span> (<span class="numeros">b</span>) y que por ellas le pagaron <span class="numeros">9.50 pesos</span>, puede plantear otra ecuación que incluya las gomas y los lápices diferente a la anterior, esta sería:</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5"> <center> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">3a+2b =9.50 ----- (2)</div></td> </tr> </tbody></table> </center></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo" valign="top"> <p>Estas dos ecuaciones son diferentes, pero ambas se refieren a las mismas incógnitas, por lo que se llaman <em><strong>ecuaciones simultáneas</strong></em>.<br /> </p></td> </tr> <tr> <td colspan="5"><table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="5" width="500"> <tbody><tr> <td class="numeros" width="200">a+b =4 ----- (1)</td> <td class="cuerpo" width="300"> <div align="center"> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="100" width="300"> <tbody><tr> <td background="../../../imagesdg/caja-300.gif"><p class="cuerpo" align="center">Es la suma del costo de una goma y un lápiz. </p></td> </tr> </tbody></table> </div></td> </tr> <tr> <td class="numeros" width="200">3a+2b =9.5 -- (2)</td> <td class="cuerpo" width="300"> <div align="center"> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="100" width="300"> <tbody><tr> <td background="../../../imagesdg/caja-300.gif"><p class="cuerpo" align="center">Es lo que cobró Chucho por la venta de tres gomas y dos lápices.</p></td> </tr> </tbody></table> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo">Chucho dice que para conocer el valor de las dos incógnitas es necesario seguir los siguientes pasos.</td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 1</strong></p> <p> Se selecciona la ecuación de menor tamaño o con menos complicación para despejar a una de las dos incógnitas. De ella se despeja la incógnita que sea más fácil de dejar sola. </p> <p>En este caso, la ecuación más sencilla y sin complicaciones para despejar es la (1).</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">a+b =4 ----- (1)</div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 2</strong></p> <p> De la ecuación seleccionada, se despeja una de las dos incógnitas.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">a+b =4</div></td> </tr> </tbody></table> <p>Para dejar sola a la "<span class="numeros">a</span>", se resta "<span class="numeros">b</span>" en los dos términos:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">a + b - b = 4 - b</div></td> </tr> </tbody></table> <p>Como <span class="numeros">+b - b = 0</span>, la ecuación queda así:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">a = 4 - b</div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 3</strong></p> <p> Ahora, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación simultánea. </p> <p>Se debe sustituir <span class="numeros">a = 4 - b</span> en:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">3a + 2b = 9.50 ------------ (2)</div></td> </tr> </tbody></table> <p>Esto implica que en donde se encuentre "<span class="numeros">a</span>" en la segunda ecuación se debe poner "<span class="numeros">3 - b</span>".</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">3 (4 - b) + 2b = 9.50</div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 4</strong></p> <p> Se realizan las operaciones necesarias para simplificar al máximo las ecuaciones.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">3 (4 - b) + 2b = 9.50</div> <p align="left">12 - 3b + 2b = 9.50</p> <p align="left">12 - b = 9.50</p></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 5</strong></p> <p> La ecuación que resultó es una ecuación con una sola incógnita (<span class="numeros">b</span>), por lo que se puede obtener el valor de esa incógnita al despejarla.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">12 - b = 9.50</div></td> </tr> </tbody></table> <br /><table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo">Para despejar "<span class="numeros">b</span>", se resta en ambos términos <span class="numeros">doce</span>:</td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <div align="left">12 - 12 - b = 9.50 - 12</div></td> </tr> </tbody></table> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo"><hr noshade="noshade"></td> </tr> <tr> <td class="cuerpo">Al realizar las operaciones se tiene:</td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <div align="center"> <div align="left">0 - b = - 2.50</div> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Para obtener el valor positivo de "<span class="numeros">b</span>", se pueden multiplicar ambos términos por <span class="numeros">- 1</span> y la ecuación no se altera.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">- b = - 2.50</div></td> </tr> </tbody></table> <p>Multiplicado por <span class="numeros">- 1</span> se tiene:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">(- b) (- 1) = (- 2.50) (- 1) <p>b = 2.50 </p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Con lo anterior se ha logrado conocer el valor de "<span class="numeros">b</span>", o sea, lo que cuesta un lápiz.</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 6</strong></p> <p> Al conocer el valor de una de las dos incógnitas se podrá sustituir su valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales y con ello obtener una ecuación con una sola incógnita, observe:</p> <p>Si <span class="numeros">b = 2.5</span>, sustituya el valor de "<span class="numeros">b</span>" en la ecuación (<span class="numeros">a + b = 4</span>) y se tiene lo siguiente:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="500"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">a + (b) = 4</div> <p align="left">a + (2.5) = 4-------------- (nueva ecuación)</p></td> </tr> </tbody></table> <p>Para despejar a la incógnita "<span class="numeros">a</span>", se resta <span class="numeros">2.5</span> en los dos términos:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">a + 2.5 - 2.5 = 4 - 2.5</div></td> </tr> </tbody></table> <p>Se realizan las operaciones y queda que <span class="numeros">a = 1</span>.50</p> <p>Con lo que se sabe que las gomas valen un peso con cincuenta centavos.</p> <p>Con lo anterior Chucho sabe que cada lápiz vale dos cincuenta y cada goma uno cincuenta.</p> <p>Para comprobar que esto es verdad, sustituye los valores obtenidos (<span class="numeros">a = 1.50</span>, <span class="numeros">b = 2.50</span>) en las dos ecuaciones planteadas.</p> <p>Ecuaciones originales:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="100" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo" background="../../../imagesdg/caja-300.gif"> <p class="cuerpo" align="center">a + b = 4 ---------- (1) </p> <p align="center">3a + 2b = 9.50 ------- (2)</p></td> </tr> </tbody></table> <br /><table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo">Sustituyendo <span class="numeros">a = 1</span> y <span class="numeros">b = 2</span> en la ecuación (1) se tiene que:</td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <blockquote> <blockquote> <div align="right">a + b = 4<br /> (1.50) + (2.50)=4<br /> 4 = 4</div> </blockquote> </blockquote></td> </tr> </tbody></table> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo"><hr noshade="noshade"></td> </tr> <tr> <td class="cuerpo">Sustituyendo <span class="numeros">a = 1.5</span> y <span class="numeros">b = 2.5</span> en la ecuación (2) se tiene que:</td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <blockquote> <blockquote> <div align="right"> <p>3a + 2b = 9.50<br /> 3(1.50)+2(2.50)=9.50<br /> 4.50 + 5 = 9.50<br /> 9.50 = 9.50</p> </div> </blockquote> </blockquote></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo">Como la igualdad se cumple en las dos ecuaciones, los resultados obtenidos están bien calculados. <p>Con la solución de este tipo de ecuaciones, Chucho conoció el valor de dos incógnitas (el costo de un lápiz y el de una goma) por medio de dos ecuaciones.</p> <p>Si Chucho no hubiera conocido cómo se resuelven las ecuaciones simultáneas, habría tardado más tiempo en resolver su problema, porque habría tenido que descubrir los números por tanteos, o sea, adivinando qué números sumados dan <span class="numeros">4</span> y luego esos mismos números deben ser uno multiplicado por <span class="numeros">3</span> y otro por <span class="numeros">2</span>. Los productos obtenidos se deben sumar y dar <span class="numeros">9.50</span>.</p> <p>Esto es más complicado que utilizar las ecuaciones simultáneas, como lo hizo Chucho.</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><br /></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="titulo">Ejemplo</td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo">La tía María repartió entre sus tres sobrinos <span class="numeros">9 monedas</span> que sumadas daban <span class="numeros">60 pesos</span>. Ella recuerda que estas monedas eran de <span class="numeros">5 pesos</span> y de <span class="numeros">10 pesos</span>, pero no sabe cuántas tenía de <span class="numeros">5 pesos</span> y cuántas de <span class="numeros">10 pesos</span>. ¿Podría usted ayudar a la tía María a saber cuántas tenía de cada una?</td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><div align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/ncv-l1-12-00-p254-f1.jpg" height="189" width="250" /></div></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo">Para resolver este problema, la tía María plantea una ecuación como sigue: <p><span class="numeros">9 monedas</span>, de las que "<span class="numeros">x</span>" son de <span class="numeros">10 pesos</span> y "<span class="numeros">y</span>" de <span class="numeros">5 pesos</span>, esto se puede plantear así:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">x + y = 9 monedas</div></td> </tr> </tbody></table> <p>Es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se requiere otra ecuación diferente que también relacione a las dos incógnitas. Por ello plantea lo siguiente:</p> <p>"<span class="numeros">x</span>" monedas de <span class="numeros">10 pesos</span> y "<span class="numeros">y</span>" monedas de <span class="numeros">5 pesos</span> si se suman dan <span class="numeros">60 pesos</span>, por lo que se puede plantear la siguiente ecuación:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/p254.gif" height="150" width="300" /></div></td> </tr> </tbody></table> <p>Ahora la tía María ya tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que podrá resolverlas de la siguiente manera:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">x + y = 9 ---------------- (1) <p>10x + 5y = 60 ---------- (2)</p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p> </p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 1</strong></p> <p> Despeja de una de las dos ecuaciones a una de las incógnitas (se recomienda que sea la más sencilla).</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="center">x + y = 9</div></td> </tr> </tbody></table> <p>Para dejar sola la "<span class="numeros">x</span>", se resta "<span class="numeros">y</span>" a los dos términos:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">x + y - y = 9 - y </div> <p align="left">x = 9 - y</p></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 2</strong></p> <p> Sustituye el valor de la "<span class="numeros">x</span>" por (<span class="numeros">9 - y</span>) en la ecuación (2).</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">10x + 5y = 60 --------- (2) <p>10 (9 - y) + 5y = 60</p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Se resuelven todas las operaciones para simplificar la ecuación.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">90 - 10y + 5y = 60 <p>90 - 5y = 60</p> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 3</strong></p> <p> Se despeja a la "<span class="numeros">y</span>" y se obtiene su valor.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo">Se resta <span class="numeros">90</span> en los dos términos:</td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <blockquote> <div align="left">90 - 90 - 5y = 60 - 90<br /> - 5y = - 30</div> </blockquote></td> </tr> </tbody></table> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo"><hr noshade="noshade"></td> </tr> <tr> <td class="cuerpo">Se dividen los dos términos entre <span class="numeros">-5</span> para despejar la "<span class="numeros">y</span>".</td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <blockquote> <div align="left">y=<img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/30-5.gif" align="absmiddle" height="38" width="35" /><br /> y = 6</div> </blockquote></td> </tr> </tbody></table> <p>Por lo que la tía María ahora sabe que tenía <span class="numeros">6 monedas</span> "<span class="numeros">y</span>", o sea, de <span class="numeros">5 pesos</span>.</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 4</strong></p> <p> Sustituye el valor de "<span class="numeros">y</span>" (el que obtuvo) en cualquiera de las dos ecuaciones originales. Por ejemplo: </p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">x + y = 9 <p>x + 6 = 9</p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Despeja la incógnita que falta conocer. Para ello resta <span class="numeros">6</span> en los dos términos:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">x + 6 - 6 = 9 - 6 <p>x = 3</p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Con lo anterior, la tía María ya sabe que contaba con <span class="numeros">3 monedas</span> "<span class="numeros">x</span>", o sea, de <span class="numeros">10 pesos</span>.</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><div align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/ncv-l1-12-00-p256-f1.jpg" height="250" width="214" /></div></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p>Para comprobar que sus ecuaciones y cuentas fueron correctas, sustituye los valores obtenidos (<span class="numeros">x = 3</span>, <span class="numeros">y = 6</span>) en las ecuaciones originales.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="100" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo" background="../../../imagesdg/caja-300.gif"> <p class="cuerpo" align="center">x + y = 9 ----------- (1) </p> <p align="center">10x + 5y = 60 ------ (2)</p></td> </tr> </tbody></table> <br /><table align="center" border="0" cellpadding="3" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo">Sustituyendo en la ecuación (1):</td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <blockquote> <div align="right">x + y = 9<br /> 3 + 6 = 9<br /> 9 = 9</div> </blockquote></td> </tr> </tbody></table> <table align="center" border="0" cellpadding="3" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo"><hr noshade="noshade"></td> </tr> <tr> <td class="cuerpo">Sustituyendo en la ecuación (2):</td> </tr> <tr> <td class="numeros"><blockquote> <div align="right">10x + 5y = 60<br /> 10 (3) + 5 (6)= 60<br /> 30 + 30 = 60<br /> 60 = 60</div> </blockquote></td> </tr> </tbody></table> <p>Como se cumple la igualdad en ambas ecuaciones, los valores son correctos.</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><div align="center"><a name="alto01" id="alto01"></a><a href="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/nycu6t1.htm#alto00" onmouseout="MM_swapImgRestore()" onmouseover="MM_swapImage('subir1','','../../../imagesdg/bn_arrib02.gif',1)"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/imagesdg/bn_arrib01.gif" alt="subir" name="subir1" id="subir1" border="0" height="31" width="46" /></a></div></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="titulo"><blockquote> <p><span class="titulo">• S</span>olución gráfica de ecuaciones simultáneas</p> </blockquote></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"> </td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/ncv-l1-12-00-p257-f1.jpg" align="left" height="183" hspace="10" width="250" />Las ecuaciones simultáneas pueden ser resueltas de varias maneras; la forma en la que se resolvieron los últimos ejemplos se le llama <em><strong>algebraica</strong></em>.</p> <p>También se pueden resolver por un método gráfico, esto se puede hacer porque cada ecuación representa a una línea en los ejes de coordenadas, esta línea puede ser una recta o una curva, y el lugar en donde se cruzan las dos líneas es el punto que representa la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto (en donde se cruzan las líneas) son los valores que resuelven las dos ecuaciones.</p> <p>Observe usted cómo se resuelve de manera gráfica el último ejemplo presentado (el de la tía María).</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left">x + y = 9 monedas <p>10x + 5y = 60 pesos</p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Para graficar una ecuación se recomienda despejar una de las dos variables, y asignarle algunos valores a la que no se despejó. A esto se le llama <em>tabulación</em>.</p> <table align="right" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="420"> <tbody><tr valign="top"> <td class="numeros" width="140">x + y = 9 ----<br /></td> <td class="numeros">(1)</td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros" width="140">y = 9 - x -----</td> <td class="numeros">(Ecuación (1) con la "y" despejada, con la que se pueden obtener diferentes valores de la "y" al asignar algunos valores a la "x".)</td> </tr> </tbody></table> <p> </p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p>Observe usted la siguiente forma de tabular, con la ecuación (<span class="numeros">y = 9 - x</span>).</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr valign="top"> <td class="cuerpo" width="200">Si la "<span class="numeros">x</span>" valiera "<span class="numeros">0</span>", se tendría:</td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros" width="200"><blockquote> <p>y = 9 - x<br /> y = 9 - (0)<br /> y = 9<br /> </p> </blockquote></td> </tr> <tr valign="top"> <td class="cuerpo" width="200">Si la "<span class="numeros">x</span>" valiera "<span class="numeros">1</span>", se tendría:</td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros" width="200"> <blockquote> <p>y = 9 - x<br /> y = 9 - (1)<br /> y = 8<br /> </p> </blockquote></td> </tr> <tr valign="top"> <td class="cuerpo" width="200">Si la "<span class="numeros">x</span>" valiera "<span class="numeros">2</span>", se tendría:</td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros" width="200"> <blockquote> <p>y = 9 - x<br /> y = 9 - (2)<br /> y = 7 </p> </blockquote></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><span style="color:#cc0000;"> <object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,29,0" height="420" width="535"> <param name="movie" value="../../interactivos/unidad6/u6p359.swf"> <param name="quality" value="high"> <embed src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/interactivos/unidad6/u6p359.swf" quality="high" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" height="420" width="535"></embed></object> </span><br /></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/ncv-l1-12-00-p258-f1.jpg" align="left" height="191" hspace="10" width="250" />Cada uno de estos pares de números es un punto en los ejes coordenados.</p> <p>Podrían haberse asignado otros muchos valores a la "<span class="numeros">x</span>" para obtener los valores de "<span class="numeros">y</span>" pero con estos es suficiente para gráficar la primera ecuación del sistema.<br /> </p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><br /></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p>Para graficar la ecuación 10x + 5y=60 se procede de la siguiente manera:</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"> <p><strong>Paso 1</strong></p> <p> Se despeja "y" de la ecuación.</p> <div align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/p259.gif" class="instrucciones" height="150" width="300" /><br /> </div></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><strong>Paso 2</strong> <object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,29,0" height="435" width="520"> <param name="movie" value="../../interactivos/unidad6/u6p362.swf"> <param name="quality" value="high"> <embed src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/interactivos/unidad6/u6p362.swf" quality="high" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" height="435" width="520"></embed></object> </p> </td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p>Las dos líneas, producto de las ecuaciones graficadas, se muestran en el mismo plano, con lo que se tendrá:</p> <p align="center"> <object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,29,0" height="500" width="520"> <param name="movie" value="../../animaciones/unidad6/u6p364.swf"> <param name="quality" value="high"> <embed src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/animaciones/unidad6/u6p364.swf" quality="high" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" height="500" width="520"></embed></object> </p> <p>El punto en donde se cruzan las dos rectas es <span class="numeros">(3, 6)</span>, lo que nos indica que la "<span class="numeros">x</span>" que soluciona de manera simultánea las dos ecuaciones vale <span class="numeros">3</span> y la "<span class="numeros">y</span>" que también satisface al mismo tiempo las dos ecuaciones es la de <span class="numeros">6</span>. Lo que coincide con la solución algebraica.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left"> <p align="center">x = 3</p> <p align="center"> y = 6</p> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="titulo"><div align="center"><a name="alto02" id="alto02"></a><a href="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/nycu6t1.htm#alto01" onmouseout="MM_swapImgRestore()" onmouseover="MM_swapImage('subir11','','../../../imagesdg/bn_arrib02.gif',1)"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/imagesdg/bn_arrib01.gif" alt="subir" name="subir11" id="subir1" border="0" height="31" width="46" /></a></div></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="titulo"><blockquote> <p><span class="titulo">• Solución de ecuaciones simultáneas por eliminación</span></p> </blockquote></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"> </td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo"><p><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/ncv-l1-12-00-p262-f1.jpg" align="left" height="181" hspace="10" width="250" />Un cliente paga <span class="numeros">24 pesos</span> a Tarcisio por <span class="numeros">3 jugos</span> de naranja y <span class="numeros">dos malteadas</span> de fresa. Y otro, que llega después, le compra <span class="numeros">4 jugos</span> de naranja y <span class="numeros">una malteada</span>, por lo que le paga <span class="numeros">22 pesos</span>. ¿A cómo da Tarcisio los jugos de naranja y las malteadas?</p></td> </tr> <tr> <td colspan="5" class="cuerpo">Para resolver lo anterior, se puede plantear una ecuación de la siguiente manera. <p>A Tarcisio le pagaron, por <span class="numeros">3 jugos</span> de naranja "<span class="numeros">x</span>" y <span class="numeros">2 malteadas</span> "<span class="numeros">y</span>", <span class="numeros">24 pesos</span>. Por lo que se puede plantear una ecuación como sigue:</p> <p align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/p262-1.gif" height="150" width="500" /></p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="60" width="500"> <tbody><tr> <td background="../../../imagesdg/caja-500.gif"><blockquote> <div class="cuerpo" align="left">x = precio de cada jugo de naranja</div> <div class="cuerpo" align="left">y = precio de cada malteada</div> </blockquote></td> </tr> </tbody></table> <p>Esta es una ecuación con dos incógnitas, por lo que para conocer el valor de las incógnitas requiere de otra ecuación. Por ello plantea lo siguiente.</p> <p>Otro cliente le pagó <span class="numeros">22 pesos</span> por <span class="numeros">4 jugos</span> de naranja y <span class="numeros">una malteada</span>. Con estos datos puede plantear la segunda ecuación:</p> <div align="center"> <p><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/p262-2.gif" height="150" width="500" /></p> </div> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="60" width="500"> <tbody><tr> <td background="../../../imagesdg/caja-500.gif"><blockquote> <div class="cuerpo" align="left">x = precio de cada jugo de naranja</div> <div class="cuerpo" align="left">y = precio de cada malteada</div> </blockquote></td> </tr> </tbody></table> <p>Ahora ya se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="100" width="300"> <tbody><tr class="cuerpo"> <td background="../../../imagesdg/caja-300.gif"><p align="center">3x + 2y = 24 --------- (1)</p> <p align="center"> 4x + y = 22 ---------- (2)</p></td> </tr> </tbody></table> <p>Para resolver sus ecuaciones simultáneas, Tarcisio usa un método llamado por <em><strong>eliminación</strong></em>, que consiste en que al sumar las dos ecuaciones se elimine una de las variables. Para que esto último suceda, se debe multiplicar por un número ambos miembros de una de las dos ecuaciones, de tal manera que, al sumarlos, una de las incógnitas se elimine. Observe usted como lo hace Tarcisio.</p> <p>En el primer miembro de la ecuación (1) hay un "<span class="numeros">2y</span>". En la ecuación (2) se tiene una sola "<span class="numeros">y</span>". Para que al sumar las dos ecuaciones se eliminen las dos "<span class="numeros">y</span>", se multiplica la ecuación (2) por (<span class="numeros">-2</span>) en ambos miembros, para que no se altere; con lo anterior obtendrá otra ecuación equivalente pero con "<span class="numeros">-2y</span>", con lo que al sumar las dos ecuaciones, la "<span class="numeros">y</span>" se eliminará:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="500"> <tbody><tr valign="top"> <td class="numeros" width="250"> 4x + y = 22 ------------<br /></td> <td class="numeros" width="250">(ecuación original 2)</td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros" width="250"> -2 (4x + y) = -2 (22)</td> <td class="numeros" width="250"> </td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros" width="250"> -8x - 2y = -44 ----------</td> <td class="numeros" width="250">(ecuación equivalente a la original 2) </td> </tr> </tbody></table> <p>Ahora, suma la ecuación (1) y la nueva ecuación (2):</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="500"> <tbody><tr valign="top"> <td class="numeros" width="300"><div align="right">3x + 2y = 24<br /> </div></td> <td class="numeros" width="200"> -----------(1)</td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros" width="300"><div align="right">-8x - 2y = -44</div></td> <td class="numeros" width="200">-----------(2)</td> </tr> <tr valign="bottom"> <td height="10"> <hr align="right" noshade="noshade" width="50%"> </td> <td height="10"> </td> </tr> <tr valign="top"> <td class="numeros"><div align="right"> -5x 0=-20</div></td> <td class="numeros"> </td> </tr> </tbody></table> <p>Con lo que se obtiene:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"> <div align="left"> <p align="center">-5x = -20</p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Para obtener el valor de "<span class="numeros">x</span>", se dividen los dos términos entre <span class="numeros">-5</span>:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"><div align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/p263.gif" height="38" width="100" /></div></td> </tr> <tr> <td class="numeros"> <div align="left"> <p align="center">x = 4</p> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Con esto se sabe que Tarcisio da los jugos de naranja (<span class="numeros">x</span>) en <span class="numeros">4 pesos</span>.</p> <p>El valor obtenido de la "<span class="numeros">x</span>" (<span class="numeros">4</span>) se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita (las malteadas).</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="500"> <tbody><tr valign="top"> <td class="numeros" width="250"> <div align="right">3x + 2y = 24 -----------<br /> </div></td> <td class="numeros" width="250">(ecuación original 1)</td> </tr> </tbody></table> <p>Sustituyendo el valor de "<span class="numeros">x</span>" (<span class="numeros">4</span>):</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros">3 (4) + 2y = 24</td> </tr> </tbody></table> <p>Se resuelven las operaciones:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros">12 + 2y = 24</td> </tr> </tbody></table> <p>Se despeja a la "<span class="numeros">y</span>", restando en los dos términos <span class="numeros">12</span>:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"><div align="center">12 - 12 + 2y = 24 - 12 </div> <p align="center"> 2y = 12<br /> </p></td> </tr> </tbody></table> <p>Se divide a los dos términos entre <span class="numeros">2</span>:</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="numeros"><div align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/p264.gif" height="38" width="100" /></div></td> </tr> <tr> <td class="numeros"><div align="center">y = 6<br /> </div></td> </tr> </tbody></table> <p>Con lo anterior se sabe que las malteadas en el puesto de Tarcisio cuestan <span class="numeros">6 pesos</span>.</p> <p align="center"><img src="http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu6/imagesu6/ncv-l1-12-00-p264-f1.jpg" height="174" width="250" /></p> <p>Para comprobar que los resultados son los adecuados, se sustituyen los valores obtenidos (<span class="numeros">x = 4</span>, <span class="numeros">y = 6)</span>, en las ecuaciones originales y se observa si se cumplen las igualdades.</p> <table align="center" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" height="100" width="300"> <tbody><tr class="cuerpo"> <td background="../../../imagesdg/caja-300.gif"><p align="center">3x + 2y = 24 ---------- (1)</p> <p align="center"> 4x + y = 22 ----------- (2)</p></td> </tr> </tbody></table> <br /><table align="center" border="0" cellpadding="3" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr class="numeros"> <td colspan="2"><p align="center">x=4</p> <p align="center">y=6</p></td> </tr> <tr class="cuerpo"> <td colspan="2">Sustituyendo en la ecuación (1)</td> </tr> <tr class="numeros" valign="top"> <td width="200"> <div align="right">3x + 2y = 24<br /> 3 (4) + 2 (6) = 24<br /> 12 + 12 = 24<br /> 24 = 24</div></td> <td width="70">--- (1) </td> </tr> </tbody></table> <table align="center" border="0" cellpadding="3" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr> <td class="cuerpo"><hr noshade="noshade"></td> </tr> </tbody></table> <table align="center" border="0" cellpadding="3" cellspacing="0" width="300"> <tbody><tr class="cuerpo"> <td colspan="2">Sustitución en la ecuación (2)</td> </tr> <tr class="numeros" valign="top"> <td width="200"> <div align="right"> 4x + y = 22<br /> 4 (4) + 6 = 22<br /> 16 + 6 = 22<br /> 22 = 22 </div></td> <td width="70">--- (2) </td> </tr> </tbody></table> <p>Como la igualdad se cumple en ambas ecuaciones, se comprueba que los resultados obtenidos son correctos.</p></td></tr></tbody></table>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3650593318140755646.post-33191977529787146062009-10-05T11:15:00.001-07:002009-10-05T11:18:45.611-07:00Ecuaciones indeterminadas<p style="font-family: georgia; font-weight: bold;">Una ecuación indeterminada es una ecuación para la cual hay un conjunto infinito de soluciones – por ejemplo, 2x = y. Las ecuaciones indeterminadas no siempre pueden ser resueltas directamente con la información dada. Por ejemplo, las ecuaciones</p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><img class="tex" alt="\ ax + by = c" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/8/b/e8b138fd133bd9e78b9679bd39f91155.png" /></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><img class="tex" alt="\ x^2 - Py^2 = 1" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/7/6/47644b4f4f606ac880d52bdd81be6b33.png" /></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;">donde a, b, c, y P son enteros (siempre que P no es un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cuadrado" title="Número cuadrado" class="mw-redirect">número cuadrado</a>), son ecuaciones indeterminadas. Una ecuación donde las variables sólo pueden tomar valores enteros se conoce como una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1ntica" title="Ecuación diofántica">ecuación diofántica</a>, por lo que las anteriores son ejemplos de ecuaciones diofánticas indeterminadas.</p><p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong>Existen ecuaciones que no se pueden resolver mediante los métodos vistos hasta ahora, debido a que poseen mas de una variable y al despejar, simplemente nos queda una variable en función de la otra.</strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong> 6m = 18n +30 de donde m = 3n +5 ó n = (m - 5)/3 </strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong><br />En estos casos cada valor que se le asigne a una variable dará un grupo único de raíces como respuesta para la otra variable.</strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong> Si n = 5 m = 20<br /> Si n = 5/3 m = 0<br /> Si n = -2 m = -1</strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong>Y así se pueden dar una cantidad infinita de valores de una variable y su respectiva raíz como respuesta para la otra y todos estos pares satisfacen la ecuación </strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong><em>Resolución de ecuaciones indeterminadas</em></strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong>Se trata de encontrar un grupo de posibles respuestas que cumplan ciertas características, por ejemplo si restringimos las posibles soluciones para que sean únicamente positivas y enteras, entonces las únicas respuestas de la ecuación </strong><strong>y = 3 - x serán:</strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong> x = 1 y = 2<br /> x = 2 y = 1<br /> y cualquier valor de x que sea menor o igual a cero</strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong>Esto debido a que cualquier valor mayor de tres dará como resultado un “y” negativo y no se cumpliría la restricción, y con x = 3 el resultado de “y” será 0 y cero no es un numero positivo.</strong></p> <p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong>Así se dice que en esta ecuación “y” es igual a un entero positivo siempre que x sea un entero y x <3,></strong></p><strong> </strong><p style="font-family: georgia; font-weight: bold;"><strong><strong>Para encontrar definitivamente todas las raíces de cada valor de las ecuaciones de dos variables que cumplan con la restricción de ser enteros positivos, se sigue el siguiente método:</strong></strong></p><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="1" class="Estilo158" type="1"><li><strong>Despejamos la variable con el menor coeficiente.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="2" class="Estilo159" type="1"><li><strong>En caso de quedar como fracción, descomponemos cada miembro del numerador en cantidades perfectamente divisibles entre el denominador, y las dividimos, nos quedan varias sumas y una fracción mas pequeña.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="3" class="Estilo159" type="1"><li><strong>Despejamos la fracción resultante, procurando nos quede solo una variable en al menos un miembro.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="4" class="Estilo160" type="1"><li><strong>Igualamos cada miembro a una nueva variable, la cual es un numero entero.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="5" class="Estilo160" type="1"><li><strong>Tomando el miembro con una sola de las variables originales, multiplicamos por una cantidad que convierta a el coeficiente de la variable en igual al denominador + 1.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="6" class="Estilo161" type="1"><li><strong>Repetimos el paso dos, y como para que este resultado nos de entero la fracción tiene que ser un entero, trabajaremos solo con la fracción igualada a la variable que es un entero.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="7" class="Estilo161" type="1"><li><strong>Despejamos la incógnita original quedando un polinomio en función de la variable entera.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="8" class="Estilo162" type="1"><li><strong>Sustituimos este polinomio por la variable desconocida en la ecuación original y despejamos la otra variable desconocida.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="9" class="Estilo162" type="1"><li><strong>Ahora nos quedan dos ecuaciones en función de la nueva variable, sustituimos esta variable por valores enteros a partir del cero, primero los positivos y luego los negativos.</strong></li></ol><strong> </strong><ol style="font-family: georgia; font-weight: bold;" start="10" class="Estilo163" type="1"><li><strong>Cuando el resultado de alguna de las variables resulte negativo nos detenemos, tanto en los positivos como en los negativos, este es intervalo solución.</strong></li></ol>Algebrahttp://www.blogger.com/profile/04430260947175407995noreply@blogger.com0