lunes, 5 de octubre de 2009

Logaritmos

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

  • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
 \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)

  • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
 \!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b)

  • El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
 \!\, \log(a ^ x) = x \log(a)

  • El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
 \!\, \log(\sqrt[x]{y}) = \frac{\log(y)}{x}

Logaritmo de base b (cambio de base)

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como \log(x)\,\!, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

Logaritmo en base imaginaria

Artículo principal: Logaritmo en base imaginaria

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

\log_i(z) = {{2 \ln(z) } \over i\pi} .\,

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0.

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