lunes, 5 de octubre de 2009

Productos notables y cocientes notables

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.


Casos de factorización

Caso 1 - Factor común

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Caso 2 - Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

  • ° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.
    ° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.


Caso 7 - Trinomio de la forma

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

  • ° Posee cuatro términos
    ° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).
    ° El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
    ° El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.
    ° Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.


Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente:

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

Para an-bn con n = par la factorización será:

Para an+bn con n = impar la factorización será:

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