Logaritmos

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

Logaritmo de base b (cambio de base)

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

Logaritmo en base imaginaria

Artículo principal: Logaritmo en base imaginaria

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0.

Ecuaciones simultaneas

En la papelería de Chucho un señor le compró 3 gomas y 2 lápices, por ellos pagó 9.50 pesos. Si la suma de lo que cuesta una goma y un lápiz es 4 pesos. ¿Cuánto vale cada goma y cada lápiz? Chucho, para resolver este problema, piensa así: Necesito encontrar dos números que sumados me den 4 pesos, que es lo que cuestan una goma y un lápiz.

a+b =4 ----- (1) a = precio de cada goma b = precio de cada lápiz

Como en esta ecuación se tienen dos incógnitas, "a" y "b", no puede ser resuelta con una sola ecuación, por lo que se necesita otra diferente que también incluya las dos incógnitas. Chucho dice que si sabe que vendió 3 gomas (a) y 2 lápices (b) y que por ellas le pagaron 9.50 pesos, puede plantear otra ecuación que incluya las gomas y los lápices diferente a la anterior, esta sería:

3a+2b =9.50 ----- (2)

Estas dos ecuaciones son diferentes, pero ambas se refieren a las mismas incógnitas, por lo que se llaman ecuaciones simultáneas.

a+b =4 ----- (1) Es la suma del costo de una goma y un lápiz. 3a+2b =9.5 -- (2) Es lo que cobró Chucho por la venta de tres gomas y dos lápices.

Chucho dice que para conocer el valor de las dos incógnitas es necesario seguir los siguientes pasos.

Paso 1 Se selecciona la ecuación de menor tamaño o con menos complicación para despejar a una de las dos incógnitas. De ella se despeja la incógnita que sea más fácil de dejar sola. En este caso, la ecuación más sencilla y sin complicaciones para despejar es la (1). a+b =4 ----- (1)

Paso 2 De la ecuación seleccionada, se despeja una de las dos incógnitas. a+b =4 Para dejar sola a la "a", se resta "b" en los dos términos: a + b - b = 4 - b Como +b - b = 0, la ecuación queda así: a = 4 - b

Paso 3 Ahora, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación simultánea. Se debe sustituir a = 4 - b en: 3a + 2b = 9.50 ------------ (2) Esto implica que en donde se encuentre "a" en la segunda ecuación se debe poner "3 - b". 3 (4 - b) + 2b = 9.50

Paso 4 Se realizan las operaciones necesarias para simplificar al máximo las ecuaciones. 3 (4 - b) + 2b = 9.50 12 - 3b + 2b = 9.50 12 - b = 9.50

Paso 5 La ecuación que resultó es una ecuación con una sola incógnita (b), por lo que se puede obtener el valor de esa incógnita al despejarla. 12 - b = 9.50 Para despejar "b", se resta en ambos términos doce: 12 - 12 - b = 9.50 - 12 Al realizar las operaciones se tiene: 0 - b = - 2.50 Para obtener el valor positivo de "b", se pueden multiplicar ambos términos por - 1 y la ecuación no se altera. - b = - 2.50 Multiplicado por - 1 se tiene: (- b) (- 1) = (- 2.50) (- 1) b = 2.50 Con lo anterior se ha logrado conocer el valor de "b", o sea, lo que cuesta un lápiz.

Paso 6 Al conocer el valor de una de las dos incógnitas se podrá sustituir su valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales y con ello obtener una ecuación con una sola incógnita, observe: Si b = 2.5, sustituya el valor de "b" en la ecuación (a + b = 4) y se tiene lo siguiente: a + (b) = 4 a + (2.5) = 4-------------- (nueva ecuación) Para despejar a la incógnita "a", se resta 2.5 en los dos términos: a + 2.5 - 2.5 = 4 - 2.5 Se realizan las operaciones y queda que a = 1.50 Con lo que se sabe que las gomas valen un peso con cincuenta centavos. Con lo anterior Chucho sabe que cada lápiz vale dos cincuenta y cada goma uno cincuenta. Para comprobar que esto es verdad, sustituye los valores obtenidos (a = 1.50, b = 2.50) en las dos ecuaciones planteadas. Ecuaciones originales: a + b = 4 ---------- (1) 3a + 2b = 9.50 ------- (2) Sustituyendo a = 1 y b = 2 en la ecuación (1) se tiene que: a + b = 4 (1.50) + (2.50)=4 4 = 4 Sustituyendo a = 1.5 y b = 2.5 en la ecuación (2) se tiene que: 3a + 2b = 9.50 3(1.50)+2(2.50)=9.50 4.50 + 5 = 9.50 9.50 = 9.50

Como la igualdad se cumple en las dos ecuaciones, los resultados obtenidos están bien calculados. Con la solución de este tipo de ecuaciones, Chucho conoció el valor de dos incógnitas (el costo de un lápiz y el de una goma) por medio de dos ecuaciones. Si Chucho no hubiera conocido cómo se resuelven las ecuaciones simultáneas, habría tardado más tiempo en resolver su problema, porque habría tenido que descubrir los números por tanteos, o sea, adivinando qué números sumados dan 4 y luego esos mismos números deben ser uno multiplicado por 3 y otro por 2. Los productos obtenidos se deben sumar y dar 9.50. Esto es más complicado que utilizar las ecuaciones simultáneas, como lo hizo Chucho.

Ejemplo

La tía María repartió entre sus tres sobrinos 9 monedas que sumadas daban 60 pesos. Ella recuerda que estas monedas eran de 5 pesos y de 10 pesos, pero no sabe cuántas tenía de 5 pesos y cuántas de 10 pesos. ¿Podría usted ayudar a la tía María a saber cuántas tenía de cada una?

Para resolver este problema, la tía María plantea una ecuación como sigue: 9 monedas, de las que "x" son de 10 pesos y "y" de 5 pesos, esto se puede plantear así: x + y = 9 monedas Es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se requiere otra ecuación diferente que también relacione a las dos incógnitas. Por ello plantea lo siguiente: "x" monedas de 10 pesos y "y" monedas de 5 pesos si se suman dan 60 pesos, por lo que se puede plantear la siguiente ecuación: Ahora la tía María ya tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que podrá resolverlas de la siguiente manera: x + y = 9 ---------------- (1) 10x + 5y = 60 ---------- (2)

Paso 1 Despeja de una de las dos ecuaciones a una de las incógnitas (se recomienda que sea la más sencilla). x + y = 9 Para dejar sola la "x", se resta "y" a los dos términos: x + y - y = 9 - y x = 9 - y

Paso 2 Sustituye el valor de la "x" por (9 - y) en la ecuación (2). 10x + 5y = 60 --------- (2) 10 (9 - y) + 5y = 60 Se resuelven todas las operaciones para simplificar la ecuación. 90 - 10y + 5y = 60 90 - 5y = 60

Paso 3 Se despeja a la "y" y se obtiene su valor. Se resta 90 en los dos términos: 90 - 90 - 5y = 60 - 90 - 5y = - 30 Se dividen los dos términos entre -5 para despejar la "y". y= y = 6 Por lo que la tía María ahora sabe que tenía 6 monedas "y", o sea, de 5 pesos.

Paso 4 Sustituye el valor de "y" (el que obtuvo) en cualquiera de las dos ecuaciones originales. Por ejemplo: x + y = 9 x + 6 = 9 Despeja la incógnita que falta conocer. Para ello resta 6 en los dos términos: x + 6 - 6 = 9 - 6 x = 3 Con lo anterior, la tía María ya sabe que contaba con 3 monedas "x", o sea, de 10 pesos.

Para comprobar que sus ecuaciones y cuentas fueron correctas, sustituye los valores obtenidos (x = 3, y = 6) en las ecuaciones originales. x + y = 9 ----------- (1) 10x + 5y = 60 ------ (2) Sustituyendo en la ecuación (1): x + y = 9 3 + 6 = 9 9 = 9 Sustituyendo en la ecuación (2): 10x + 5y = 60 10 (3) + 5 (6)= 60 30 + 30 = 60 60 = 60 Como se cumple la igualdad en ambas ecuaciones, los valores son correctos.

• Solución gráfica de ecuaciones simultáneas

Las ecuaciones simultáneas pueden ser resueltas de varias maneras; la forma en la que se resolvieron los últimos ejemplos se le llama algebraica. También se pueden resolver por un método gráfico, esto se puede hacer porque cada ecuación representa a una línea en los ejes de coordenadas, esta línea puede ser una recta o una curva, y el lugar en donde se cruzan las dos líneas es el punto que representa la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto (en donde se cruzan las líneas) son los valores que resuelven las dos ecuaciones. Observe usted cómo se resuelve de manera gráfica el último ejemplo presentado (el de la tía María). x + y = 9 monedas 10x + 5y = 60 pesos Para graficar una ecuación se recomienda despejar una de las dos variables, y asignarle algunos valores a la que no se despejó. A esto se le llama tabulación. x + y = 9 ---- (1) y = 9 - x ----- (Ecuación (1) con la "y" despejada, con la que se pueden obtener diferentes valores de la "y" al asignar algunos valores a la "x".)

Observe usted la siguiente forma de tabular, con la ecuación (y = 9 - x). Si la "x" valiera "0", se tendría: y = 9 - x y = 9 - (0) y = 9 Si la "x" valiera "1", se tendría: y = 9 - x y = 9 - (1) y = 8 Si la "x" valiera "2", se tendría: y = 9 - x y = 9 - (2) y = 7

Cada uno de estos pares de números es un punto en los ejes coordenados. Podrían haberse asignado otros muchos valores a la "x" para obtener los valores de "y" pero con estos es suficiente para gráficar la primera ecuación del sistema.

Para graficar la ecuación 10x + 5y=60 se procede de la siguiente manera:

Paso 1 Se despeja "y" de la ecuación.

Paso 2

Las dos líneas, producto de las ecuaciones graficadas, se muestran en el mismo plano, con lo que se tendrá: El punto en donde se cruzan las dos rectas es (3, 6), lo que nos indica que la "x" que soluciona de manera simultánea las dos ecuaciones vale 3 y la "y" que también satisface al mismo tiempo las dos ecuaciones es la de 6. Lo que coincide con la solución algebraica. x = 3 y = 6

• Solución de ecuaciones simultáneas por eliminación

Un cliente paga 24 pesos a Tarcisio por 3 jugos de naranja y dos malteadas de fresa. Y otro, que llega después, le compra 4 jugos de naranja y una malteada, por lo que le paga 22 pesos. ¿A cómo da Tarcisio los jugos de naranja y las malteadas?

Para resolver lo anterior, se puede plantear una ecuación de la siguiente manera. A Tarcisio le pagaron, por 3 jugos de naranja "x" y 2 malteadas "y", 24 pesos. Por lo que se puede plantear una ecuación como sigue: x = precio de cada jugo de naranja y = precio de cada malteada Esta es una ecuación con dos incógnitas, por lo que para conocer el valor de las incógnitas requiere de otra ecuación. Por ello plantea lo siguiente. Otro cliente le pagó 22 pesos por 4 jugos de naranja y una malteada. Con estos datos puede plantear la segunda ecuación: x = precio de cada jugo de naranja y = precio de cada malteada Ahora ya se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas: 3x + 2y = 24 --------- (1) 4x + y = 22 ---------- (2) Para resolver sus ecuaciones simultáneas, Tarcisio usa un método llamado por eliminación, que consiste en que al sumar las dos ecuaciones se elimine una de las variables. Para que esto último suceda, se debe multiplicar por un número ambos miembros de una de las dos ecuaciones, de tal manera que, al sumarlos, una de las incógnitas se elimine. Observe usted como lo hace Tarcisio. En el primer miembro de la ecuación (1) hay un "2y". En la ecuación (2) se tiene una sola "y". Para que al sumar las dos ecuaciones se eliminen las dos "y", se multiplica la ecuación (2) por (-2) en ambos miembros, para que no se altere; con lo anterior obtendrá otra ecuación equivalente pero con "-2y", con lo que al sumar las dos ecuaciones, la "y" se eliminará: 4x + y = 22 ------------ (ecuación original 2) -2 (4x + y) = -2 (22) -8x - 2y = -44 ---------- (ecuación equivalente a la original 2) Ahora, suma la ecuación (1) y la nueva ecuación (2): 3x + 2y = 24 -----------(1) -8x - 2y = -44 -----------(2) -5x 0=-20 Con lo que se obtiene: -5x = -20 Para obtener el valor de "x", se dividen los dos términos entre -5: x = 4 Con esto se sabe que Tarcisio da los jugos de naranja (x) en 4 pesos. El valor obtenido de la "x" (4) se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita (las malteadas). 3x + 2y = 24 ----------- (ecuación original 1) Sustituyendo el valor de "x" (4): 3 (4) + 2y = 24 Se resuelven las operaciones: 12 + 2y = 24 Se despeja a la "y", restando en los dos términos 12: 12 - 12 + 2y = 24 - 12 2y = 12 Se divide a los dos términos entre 2: y = 6 Con lo anterior se sabe que las malteadas en el puesto de Tarcisio cuestan 6 pesos. Para comprobar que los resultados son los adecuados, se sustituyen los valores obtenidos (x = 4, y = 6), en las ecuaciones originales y se observa si se cumplen las igualdades. 3x + 2y = 24 ---------- (1) 4x + y = 22 ----------- (2) x=4 y=6 Sustituyendo en la ecuación (1) 3x + 2y = 24 3 (4) + 2 (6) = 24 12 + 12 = 24 24 = 24 --- (1) Sustitución en la ecuación (2) 4x + y = 22 4 (4) + 6 = 22 16 + 6 = 22 22 = 22 --- (2) Como la igualdad se cumple en ambas ecuaciones, se comprueba que los resultados obtenidos son correctos.

Ecuaciones indeterminadas

Una ecuación indeterminada es una ecuación para la cual hay un conjunto infinito de soluciones – por ejemplo, 2x = y. Las ecuaciones indeterminadas no siempre pueden ser resueltas directamente con la información dada. Por ejemplo, las ecuaciones

donde a, b, c, y P son enteros (siempre que P no es un número cuadrado), son ecuaciones indeterminadas. Una ecuación donde las variables sólo pueden tomar valores enteros se conoce como una ecuación diofántica, por lo que las anteriores son ejemplos de ecuaciones diofánticas indeterminadas.

Existen ecuaciones que no se pueden resolver mediante los métodos vistos hasta ahora, debido a que poseen mas de una variable y al despejar, simplemente nos queda una variable en función de la otra.

6m = 18n +30 de donde m = 3n +5 ó n = (m - 5)/3

En estos casos cada valor que se le asigne a una variable dará un grupo único de raíces como respuesta para la otra variable.

Si n = 5 m = 20
Si n = 5/3 m = 0
Si n = -2 m = -1

Y así se pueden dar una cantidad infinita de valores de una variable y su respectiva raíz como respuesta para la otra y todos estos pares satisfacen la ecuación

Resolución de ecuaciones indeterminadas

Se trata de encontrar un grupo de posibles respuestas que cumplan ciertas características, por ejemplo si restringimos las posibles soluciones para que sean únicamente positivas y enteras, entonces las únicas respuestas de la ecuación y = 3 - x serán:

x = 1 y = 2
x = 2 y = 1
y cualquier valor de x que sea menor o igual a cero

Esto debido a que cualquier valor mayor de tres dará como resultado un “y” negativo y no se cumpliría la restricción, y con x = 3 el resultado de “y” será 0 y cero no es un numero positivo.

Así se dice que en esta ecuación “y” es igual a un entero positivo siempre que x sea un entero y x <3,>

Para encontrar definitivamente todas las raíces de cada valor de las ecuaciones de dos variables que cumplan con la restricción de ser enteros positivos, se sigue el siguiente método:

1. Despejamos la variable con el menor coeficiente.

2. En caso de quedar como fracción, descomponemos cada miembro del numerador en cantidades perfectamente divisibles entre el denominador, y las dividimos, nos quedan varias sumas y una fracción mas pequeña.

3. Despejamos la fracción resultante, procurando nos quede solo una variable en al menos un miembro.

4. Igualamos cada miembro a una nueva variable, la cual es un numero entero.

5. Tomando el miembro con una sola de las variables originales, multiplicamos por una cantidad que convierta a el coeficiente de la variable en igual al denominador + 1.

6. Repetimos el paso dos, y como para que este resultado nos de entero la fracción tiene que ser un entero, trabajaremos solo con la fracción igualada a la variable que es un entero.

7. Despejamos la incógnita original quedando un polinomio en función de la variable entera.

8. Sustituimos este polinomio por la variable desconocida en la ecuación original y despejamos la otra variable desconocida.

9. Ahora nos quedan dos ecuaciones en función de la nueva variable, sustituimos esta variable por valores enteros a partir del cero, primero los positivos y luego los negativos.

10. Cuando el resultado de alguna de las variables resulte negativo nos detenemos, tanto en los positivos como en los negativos, este es intervalo solución.